Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука

^ Появление математики и геометрии
Математика в системе человечьих познаний есть раздел, занимающийся такими понятиями, как количество, структура, соотношение и т. п. Развитие арифметики началось с сотворения практических искусств счёта и измерения линий Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука, поверхностей и объёмов. Понятие о натуральных числах формировалось равномерно и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от её определенного представления. Вследствие этого счёт длительное время оставался только вещественным — использовались пальцы, камни, пометки Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука и т. п. Археолог Б. А. Фролов доказывает существование счёта уже в верхнем палеолите. С распространением счёта на большие количества появилась мысль считать не только лишь единицами, да и, так сказать, пакетами единиц, содержащими Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука, к примеру, 10 объектов. Эта мысль немедля отразилась в языке, а потом и в письменности. Принцип именования либо изображения числа («нумерация») может быть:

Счётное устройство инков

Для запоминания результатов счёта использовали засечки, узелки и т. д. С изобретением письменности стали использовать буковкы либо особенные значки для сокращённого изображения огромных чисел Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука. При таком кодировке обычно воспроизводился тот же принцип нумерации, что и в языке. Наименования чисел от 2-ух (zwei, two, duo, deux, dvi, два…) до 10, также 10-ов и числа 100 в индоевропейских языках сходны. Это гласит Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука о том, что понятие абстрактного числа появилось очень издавна, ещё до разделения этих языков. При образовании числительных практически у всех народов число 10 занимает особенное положение, так что понятно, что счёт по пальцам был Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука обширно распространён. Отсюда происходит везде распространённая десятичная система счисления. Хотя есть и исключения: 80 по-французски quatre-vingt (другими словами 4 двадцатки), а 90 — quatre-vingt-dix (4*20+10); это употребление всходит к счёту по Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука пальцам рук и ног. Аналогично устроены числительные датского, осетинского, абхазского языков. Ещё яснее счёт двадцатками в грузинском языке. Шумеры и ацтеки, судя по языку, сначало считали пятёрками.

Есть и поболее экзотические варианты Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука. Вавилоняне в научных расчётах использовали шестидесятеричную систему. А аборигены островов Торресова пролива — двоичную


Когда понятие абстрактного числа совсем утвердилось, последующей ступенью стали операции с числами. Натуральное число — это идеализация конечного огромного количества однородных Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука, устойчивых и неразделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.). Для счёта необходимо иметь математические модели таких принципиальных событий, как объединение нескольких множеств в одно либо, напротив, отделение части огромного количества. Так появились операции Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука сложения и вычитания. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения. Характеристики и связь операций раскрывались равномерно.

Другое принципиальное практическое действие — разделение на части — с течением Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука времени абстрагировалось в четвёртую арифметическую операцию — деление. Разделять на 10 частей трудно, потому десятичные дроби, комфортные в сложных вычислениях, появились сравнимо поздно. 1-ые дроби обычно имели знаменателем 2, 3, 4, 8 либо 12. К примеру, у римлян стандартной дробью была унция Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука (1/12). Средневековые валютные и мерные системы несут на для себя очевидный отпечаток старых недесятичных систем: 1 британский пенс = 1/12 шиллинга, 1 дюйм = 1/12 фута, 1 фут = 1/3 ярда и т. д.

Приблизительно в то же время, что и Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука числа, человек абстрагировал плоские и пространственные формы. Они обычно получали наименования похожих с ними реальных предметов: к примеру, у греков «ромбос» значит волчок, «трапедсион» — столик (трапеция), «сфера» — мяч

Теория измерений появилась существенно позднее Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука, и часто содержала ошибки: соответствующим примером является неверное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров, и назад. Это логично: измерительным инвентарем служила мерная верёвка с узлами либо пометками, так что Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука измерить периметр можно было без усилий, а для определения площади в общем случае ни инструментов, ни математических способов не было. Измерения служили важным применением дробных чисел и источником развития их теории Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука.
^ Старый Восток Египет




Иероглифическая запись уравнения

Древние древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Валютных Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука расчётов, как и самих средств, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и потому в текущее время познаний о арифметике Египта значительно меньше, чем о арифметике Вавилона Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука либо Греции. Возможно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов, что подтверждается тем, что греческие арифметики обучались у египтян.

Главные сохранившиеся источники: папирус Ахмеса Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука, он же папирус Ринда (84 математические задачки), и столичный папирус Голенищева (25 задач), оба из Среднего королевства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Создатели текста нам неопознаны.

Все задачки из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука прикладной нрав и связаны с практикой строительства, размежеванием земляных наделов и т. п. Задачки сгруппированы не по способам, а по теме. По преимуществу это задачки на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука, различные деяния с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, строительство в различные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и 2-ой степени с одним Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука неведомым. На сто процентов отсутствуют какие бы то ни было разъяснения либо подтверждения. Разыскиваемый итог или даётся прямо, или приводится лаконичный метод его вычисления. Таковой метод изложения, обычный для науки государств старого Востока Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука, наводит на идея о том, что математика там развивалась оковём индуктивных обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Все же, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука Старом Египте тех лет имела либо по последней мере начинала получать теоретический нрав. Так, египетские арифметики умели извлекать корешки и строить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука даже обладали зачатками алгебры: при решении уравнений особый иероглиф «куча» обозначал неведомое. В области геометрии египтяне знали четкие формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь случайного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука рассчитывалась приближённо как ; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику. Площадь круга рассчитывалась, исходя из догадки = 3,1605 (погрешность наименее 1 %)

Египтяне знали четкие формулы для объёма параллелепипеда и Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука разных цилиндрических тел, также пирамиды и усечённой пирамиды. Пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём рассчитывался по уникальной, но четкой формуле Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука: .

О более ранешном ходе развития арифметики в Египте сведений нет никаких. О более позднем, прямо до эры эллинизма — тоже. После воцарения Птолемеев начинается очень плодотворный синтез египетской и греческой культур.
Вавилон Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука




Вавилонские числа

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в большом количестве дошли до наших дней (более 500 тыс., из их около 400 связаны с арифметикой). Потому мы имеем достаточно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука страны. Отметим, что корешки культуры вавилонян были в значимой степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п.

Вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука решаемых задач значительно обширнее. Есть задачки на решение уравнений 2-ой степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Способы работы с прогрессиями были поглубже, чем у египтян. Линейные и квадратные уравнения решались Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука ещё в эру Хаммурапи; при всем этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab именовалось площадью, abc — объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно прийти к выводу о Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неведомых в нашей алгебре. Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений. Венцом планиметрии была аксиома Пифагора, популярная ещё в эру Хаммурапи.

Шумеры Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления, увековеченную в нашем делении круга на 360°, часа на 60 минут и минутки на 60 секунд. Для умножения применялся массивный набор таблиц. Для вычисления квадратных корней вавилоняне изобрели Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука итерационный процесс: новое приближение выходило из предшествующего по формуле способа Ньютона:



В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в Египте, плюс сектор круга и усечённый конус. В ранешних документах Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука считают ; позднее встречается приближение 25/8 = 3,125. Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади некорректных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в Египте: .

Всё же богатая теоретическая база Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука арифметики Вавилона не имела целостного нрава и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых доказательной базы. Периодический доказательный подход в арифметике появился только у греков.
Китай




Китайские (вверху) и японские счёты

Числа Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука в старом Китае обозначались особыми иероглифами, которые появились во II тысячелетии до н. э., и начертание их совсем установилось к III веку до н. э. Эти иероглифы используются и в текущее время Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука. Китайский метод записи чисел вначале был мультипликативным. К примеру, запись числа 1946, используя заместо иероглифов римские числа, можно условно представить как 1М9С4Х6. Но на практике расчёты производились на счётной доске, где запись чисел была Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука иной — позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной. Вычисления выполнялись на специальной счётной доске суаньпань (см. на фото), по принципу использования аналогичной русским счётам. Нуль поначалу обозначался пустым местом Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука, особый иероглиф появился около XII века н. э. Для запоминания таблицы умножения была особая песня, которую ученики заучивали назубок. Более содержательное математическое сочинение старого Китая — «Математика в 9 книгах». Китайцам было понятно почти Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука все, в том числе: вся базисная математика (включая нахождение большего общего делителя и меньшего общего кратного), деяния с дробями, пропорции, отрицательные числа, площади и объёмы главных фигур и тел, аксиома Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука Пифагора и метод подбора пифагоровых троек, решение квадратных уравнений. Был даже разработан способ фан-чэн для решения систем случайного числа линейных уравнений — аналог традиционного евро способа Гаусса. Численно решались уравнения хоть Возникновение арифметики и геометрии - Μάθημα - изучение, наука какой степени — методом тянь-юань, напоминающим способ Руффини-Горнера для нахождения корней многочлена.

.


voznagrazhdenie-i-risk-kolebanij.html
voznagrazhdenie-priemnim-roditelyam.html
voznagrazhdenie-v-konce-puti-14-glava.html